TEMA 7. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad es la medida de ocurrencia de un evento que es incierto. Se expresa con valores de 0 a 1, a través de los porcentajes.
La probabilidad nos ayuda a tomar decisiones, ya que de alguna manera reducimos la incertidumbre.
La probabilidad presenta 3 vertientes:
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS: número hacia el que tienden las frecuencias relativas de un suceso cuando repetimos un evento un número elevado de veces.
EJERCICIO
En un saco tenemos 40 gramos de arroz integral y arroz basmati. Calcula la probabilidad de que al sacar un grano de arroz, este sea integral.
Si tenemos estos datos, y calculamos la frecuencia relativa obtendremos que 0,4 es el número hacia el que tienden las frecuencias relativas. Para ello no nos bastaría con esos valores, sino con un número elevado de eventos.
EVENTOS O SUCESOS
El conjunto de todos los resultados posibles en un estudio se llama espacio muestral.
Teoría de la Probabilidad
DISTRIBUCIONES NORMALES
Criterios de tipificación
EJERCICIOS
1. Si se lanza un dado, cual es la probabilidad de que... (teniendo en cuenta que hay como máximo 6 resultados)
1.1.Caiga un 3.
Nº de eventos favorables/ Nº de eventos posibles
P(3)=1/6=0,16
1.2.Caiga menos de 10.
P(<10)=1, ya que todos los valores que obtendremos serán más pequeños que el 10.
1.3.Caiga un 8.
P(8)=0
1.4.Que no caiga en 5.
Es lo mismo que la probabilidad de que salga el número 1,2,3,4 y 6.
1-P(5)=1-(1/6)=0,83
2. Si se lanza una moneda al aire, la probabilidad de que salga cara es 1/2. ¿Qué probabilidad hay de que en 6 tiradas al aire salgan 2 caras?
En primer lugar, analizamos los datos.
P= 1/2
N=6
x= 2 caras
Utilizamos la fórmula y sustituimos.
P[ x=2]= ( 6 x (1/2)^2 x (1/2)^4= 23,43% de probabilidad de que salgan 2 caras
2 )
3. Se realiza una escala de autoestima a una muestra de 500 mujeres. Recogemos los siguientes datos con una escala de actitud de 20 puntos y obtenemos lo siguiente:
Media de autoestima: 8
Desviación típica:2
¿Qué porcentaje de mujeres tienen puntuaciones de autoestima entre 5 y 8?
1) Tipificación de los valores.
P[ 5<=x<=8]
Zx= X-m/s= d-8/2= -1,5
Zx= 8-8/2=0
Buscamos -1,5 en la tabla tipificada de valores negativos y el resultado es 0,06. Para mejor comprensión lo multiplicamos por cien.
Solución: Un 6% ha obtenido una puntuación entre 5 y 8.
¿Qué proporción de mujeres tiene una puntuación igual o más de 13?
P[x>=13]
Zx=13-8/2=2,5
Y>=2,5
Al no poder ser >=, debemos hacer la siguiente operación:
1-P[ Y<=2,5]
Buscamos 2,5 en la tabla de tipificación y nos da 0,993
1-0,993= 0,0062
0,0062x100=6,2
Solución: Un 6,2% de mujeres han obtenido una puntuación igual o mayor de 13.
4.La glucemia basal de los diabéticos atendidos en la consulta de enfermería puede considerarse como una variable normalmente distribuida con media 106 mg por 100ml y desviación típica de 8 mg por 100 ml N (106;8)
Media=106
Desviación típica=8
Calcula el nivel de glucemia basal tal que por debajo de él estén el 25% de los diabéticos.
Este ejercicio ya nos da la probabilidad, y debemos calcular el valor inicial o A.
P[X<=A]=0,25, siendo la A nuestra incógnita
P [Y<=A]=0,25
Queremos encontrar el valor de Z en la tabla y por ello buscamos el 0,25. El valor no es exacto, se encuentra entre 0,25143 y 0,24825. Por lo tanto Z será un valor entre -0,67 y -0,68.
El valor medio sería -0,675
Despejamos la A en la ecuación
Zx= A-m/2
-0,675= X-106/2= 100,6
Solución: El 25% de los diabéticos presenta un nivel de glucemia de 100,6 mg/ml
La probabilidad es la medida de ocurrencia de un evento que es incierto. Se expresa con valores de 0 a 1, a través de los porcentajes.
La probabilidad nos ayuda a tomar decisiones, ya que de alguna manera reducimos la incertidumbre.
La probabilidad presenta 3 vertientes:
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS: número hacia el que tienden las frecuencias relativas de un suceso cuando repetimos un evento un número elevado de veces.
EJERCICIO
En un saco tenemos 40 gramos de arroz integral y arroz basmati. Calcula la probabilidad de que al sacar un grano de arroz, este sea integral.
Nº de granos de arroz que extraemos
|
Nº de granos arroz integral (frecuencia absoluta)
|
Frecuencia relativa
|
100
|
42
|
0,42
|
1000
|
419
|
0419
|
5000
|
2050
|
0,41
|
Si tenemos estos datos, y calculamos la frecuencia relativa obtendremos que 0,4 es el número hacia el que tienden las frecuencias relativas. Para ello no nos bastaría con esos valores, sino con un número elevado de eventos.
EVENTOS O SUCESOS
El conjunto de todos los resultados posibles en un estudio se llama espacio muestral.
- Un evento es un subconjunto de esos resultados
- Un evento complementario de un suceso A, está formado por elementos que A no tiene y se denomina Ac
- Se llama evento unión de A y B, al conjunto de resultados de A y B
- Se llama evento intersección de A y B, a los elementos que presentan en común.
Los sucesos pueden ser dependientes, cuando no hay relación entre ellos; e independientes.
Sucesos compatibles: aquellos que tienen sucesos en común
Sucesos incompatibles: no presentan ningún suceso en común
¿Qué es la unión de sucesos compatibles?
¿Y la unión de sucesos incompatibles?
Intersección de sucesos: elementos en común de A y B
Teoría de la Probabilidad
PROBABILIDAD
DE UN SUCESO OSCILA ENTRE 0 Y 1
PROBABILIDAD
DE EVENTO SEGURO=1
PROBABILIDAD
DE EVENTO IMPOSIBLE=0
PROBABILIDAD
DE SUCESO CONTRARIO= 1- P (A)
|
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Probabilidad
de que ocurra un suceso A si ha ocurrido B.
 B
debe ser distinto a 0
TEOREMA DE BAYES
Probabilidad
de A dado a B con la probabilidad de B dado a A.
 También
puede usarse la ecuación de la probabilidad condicionada |
DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
|
DISTRIBUCIÓN DE
POISSON
|
Modelo matemático de variables discretas (cara/cruz, hombre/mujer).
El resultado obtenido en cada prueba es independiente del resto.
P(A)=constante=ÉXITO
P(A´)=1-P=Q=FRACASO
N=nº de pruebas del experimento
  |
Poisson era un médico militar francés. Se estudió la probabilidad de
que un soldado muriera por los golpes de un caballo.
Se estudian sucesos raros o poco frecuentes y el resultado se representa
por una variable discreta. Se miden áreas, volúmenes…
No se conoce el total de posible resultados.
  |
DISTRIBUCIONES NORMALES
Criterios de tipificación
- Variables continuas que siguen una DN y tienen más de 100 unidades+
- Como los valores deben estar entre 0 y 1 debemos tipificar tanto la media como la desviación típica y así saber si un valor corresponde o no a una distribución
- Debemos usar una tabla de tipificación de distribuciones normales.
EJERCICIOS
1. Si se lanza un dado, cual es la probabilidad de que... (teniendo en cuenta que hay como máximo 6 resultados)
1.1.Caiga un 3.
Nº de eventos favorables/ Nº de eventos posibles
P(3)=1/6=0,16
1.2.Caiga menos de 10.P(<10)=1, ya que todos los valores que obtendremos serán más pequeños que el 10.
1.3.Caiga un 8.
P(8)=0
1.4.Que no caiga en 5.
Es lo mismo que la probabilidad de que salga el número 1,2,3,4 y 6.
1-P(5)=1-(1/6)=0,83
2. Si se lanza una moneda al aire, la probabilidad de que salga cara es 1/2. ¿Qué probabilidad hay de que en 6 tiradas al aire salgan 2 caras?
En primer lugar, analizamos los datos.
P= 1/2
N=6
x= 2 caras
Utilizamos la fórmula y sustituimos.
P[ x=2]= ( 6 x (1/2)^2 x (1/2)^4= 23,43% de probabilidad de que salgan 2 caras
2 )
3. Se realiza una escala de autoestima a una muestra de 500 mujeres. Recogemos los siguientes datos con una escala de actitud de 20 puntos y obtenemos lo siguiente:
Media de autoestima: 8Desviación típica:2
¿Qué porcentaje de mujeres tienen puntuaciones de autoestima entre 5 y 8?
1) Tipificación de los valores.
P[ 5<=x<=8]
Zx= X-m/s= d-8/2= -1,5
Zx= 8-8/2=0
Buscamos -1,5 en la tabla tipificada de valores negativos y el resultado es 0,06. Para mejor comprensión lo multiplicamos por cien.
Solución: Un 6% ha obtenido una puntuación entre 5 y 8.
¿Qué proporción de mujeres tiene una puntuación igual o más de 13?
P[x>=13]
Zx=13-8/2=2,5
Y>=2,5
Al no poder ser >=, debemos hacer la siguiente operación:
1-P[ Y<=2,5]
Buscamos 2,5 en la tabla de tipificación y nos da 0,993
1-0,993= 0,0062
0,0062x100=6,2
Solución: Un 6,2% de mujeres han obtenido una puntuación igual o mayor de 13.
4.La glucemia basal de los diabéticos atendidos en la consulta de enfermería puede considerarse como una variable normalmente distribuida con media 106 mg por 100ml y desviación típica de 8 mg por 100 ml N (106;8)
Media=106
Desviación típica=8
Calcula el nivel de glucemia basal tal que por debajo de él estén el 25% de los diabéticos.
Este ejercicio ya nos da la probabilidad, y debemos calcular el valor inicial o A.
P[X<=A]=0,25, siendo la A nuestra incógnita
P [Y<=A]=0,25
Queremos encontrar el valor de Z en la tabla y por ello buscamos el 0,25. El valor no es exacto, se encuentra entre 0,25143 y 0,24825. Por lo tanto Z será un valor entre -0,67 y -0,68.
El valor medio sería -0,675
Despejamos la A en la ecuación
Zx= A-m/2
-0,675= X-106/2= 100,6
Solución: El 25% de los diabéticos presenta un nivel de glucemia de 100,6 mg/ml
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